Introduction aux groupes de Lie pour la physique (F. Paulin)
Le cours "Introduction aux groupes de Lie pour la physique" de Frédéric Paulin est une introduction complète à la théorie des groupes et algèbres de Lie, et à leur représentations, motivée et illustrée par les applications à la physique. Dans une première partie, il présente d'abord les objets mathématiques (groupes et algèbres de Lie), le lien entre ces deux objets, et leurs premières propriétés, avec des démonstrations de la plupart des résultats. Puis l'auteur introduit les représentations des groupes de Lie et des algèbres de Lie, et les principales constructions de la théorie (produit tensoriel, représentation adjointe, contragrédiente,...). Les parties 2, 3 et 4 illustrent les généralités de la première partie autour de trois exemples issus de la physique : le groupe SU(2) apparaissant en physique quantique; les groupes de Lorentz-Poincaré cruciaux en relativité restreinte; le groupe SU(3) important en physique des particules.
La première partie est une présentation rigoureuse de la théorie mathématique des groupes et algèbres de Lie. Elle est illustrée de nombreux exemples issus des mathématiques et de la physique. Elle s'adresse à un public ayant des bases de mathématiques niveau L3-M1. Les parties suivantes seront appréciées par la lectrice mathématicienne en proposant des exemples concrets illustrants les généralités de la première partie (sans qu'il soit nécessaire de comprendre parfaitement la physique sous-jacente), et aussi par la lectrice physicienne qui y verra la mise en oeuvre des techniques mathématiques introduites dans différents contextes physiques et une motivation légitime pour la première partie du cours.
Ce cours a été donné à l'Ecole Centrale-Supélec en 2016-2017. Les références bibliographiques sont nombreuses et pertinentes, elles permettront à la lectrice de pouvoir approfondir certaines parties du cours.
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Prérequis mathématiques :
- algèbre linéaire.
- calcul différentiel dans R^n.
- équations différentielles linéaires.
- géométrie différentielle élémentaire : sous-variétés de R^n, champs de vecteurs.
- groupes de matrices classiques.
- algèbre bilinéaire : formes quadratiques réelles, rudiments sur le produit tensoriel d'espaces vectoriels.
- rudiments de théorie des représentations des groupes finis.
