Topologie algébrique (A. Prouté)

Le cours présente la topologie algébrique à travers le prisme de la théorie des catégories, ce qui a le mérite d'une certaine universalité. Le cours jongle entre une construction très manuelle des objets qui donnent une intuition et une conviction immédiate, et des interprétations qui ouvrent les portes de résultats plus généraux. Il présente de nombreuses illustrations, exercices et remarques...Découpé en séances plutôt qu'en chapitres, le texte commence par introduire les bases de la théorie des catégories, sa motivation et ses objets centraux.
La théorie de l'homotopie arrive alors naturellement et de façon “ élémentaire” : les manipulations détaillées de chemins mènent à la notion de groupe fondamental, et le théorème de Seifert-van Kampen donne un moyen théorique satisfaisant de calcul. Les actions de groupes topologiques mènent à la notion de revêtement et ses relations avec le groupe fondamental sont profondément travaillées, donnant en particulier des théorèmes de relèvement. L'étude de cette notion centrale aboutit à la classification des revêtements.
La théorie se développe alors vers la théorie de l'homologie qui représente algébriquement la notion de bord. Cette partie est centrée sur de l'algèbre essentiellement linéaire, et les outils utiles sont introduits pas à pas, notamment les produits tensoriels et la théorie des modules. Plusieurs théorèmes classiques en sont des fruits rapidement cueillis, ainsi le théorème de Brouwer. L'étude se porte ensuite sur l'homologie puis aboutit à la cohomologie et au théorème des coefficients universels, avec de nombreuses ouvertures en guise de conclusion.