Topologie, Analyse et Calcul différentiel (F. Paulin)
Ce polycopié est un cours donné à l'ENS en 2008-2009. Il s'adresse aux mathématiciens "purs" plutôt qu'aux utilisateurs des mathématiques (ex: ingénieurs, physiciens). Il couvre dans le détail et d'une manière claire et approfondie les bases de trois thèmes mathématiques fondamentaux: topologie, analyse fonctionnelle, et calcul différentiel.
Le cours présuppose une bonne connaissance de la topologie des espaces vectoriels normés de dimension finie, et des bases d'analyse des fonctions réelles.
Les chapitres 1 à 4 passent en revue les principales notions de la topologie (dont espaces métriques, topologiques, bases d'ouverts, topologie quotient, topologie initiales et finales, limites, compacité, complétude).
Le chapitre 5 présente des espaces fonctionnels classiques (essentiellement des espaces d'applications continues) et leurs propriétés.
Le chapitre 6 présente les théorèmes classiques de l'analyse fonctionnelle dans les espaces de Banach (Hahn-Banach, Banach-Alaoglu, Banach-Steinhaus), dans les espaces de Hilbert (Riesz, Lax-Milgram, Stampachia) et la théorie des opérateurs autoadjoints bornés.
Le chapitre 7 présente les notions basiques du calcul différentiel dans les espaces de Banach (différentielles, formules de Taylor, fonctions implicites et inversion locale) avec son application à l'étude des équations différentielles.
Toutes les notions introduites dans le cours sont illustrées par de nombreux exemples et contre-exemples, et des références bibliographiques sont indiquées pour approfondir chaque notion.
